단위벡터 자취

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-평면벡터 $\left| {\vec{p}} \right| = a$, $\left| {\vec{q}} \right| = b$라 하면 $\displaystyle {\vec{OR}} = \frac{b {\vec{p}} + a {\vec{q}}}{\left| b {\vec{p}} + a {\vec{q}} \right|}$ 이때, $\left| a {\vec{q}} \right| = a \left| {\vec{q}} \right| = ab$, $\left| b {\vec{p}} \right| = b \left| {\vec{p}} \right| = ba$이므로 두 벡터 $a {\vec{q}}$, $b {\vec{p}}$의 크기는 서로 같다. 따라서 $b {\vec{p}} = {\vec{OX}}$, $a {\vec{q}} = {\vec{OY}}$, $b {\vec{p}} + a {\vec{q}} = {\vec{OZ}}$라 하면 ${\vec{OZ}} = {\vec{OX}} + {\vec{OY}}$이므로 선분 $XY$의 중점을 $M$이라 하면 ${\vec{OZ}} = 2 {\vec{OM}}$ 이때 $\left| {\vec{OX}} \right| = \left| {\vec{OY}} \right|$이므로 직선 $OZ$는 두 벡터 ${\vec{OX}}$, ${\vec{OY}}$가 이루는 각의 이등분선이다. 즉, 직선 $OZ$는 두 벡터 ${\vec{p}} , {\vec{q}}$가 이루는 각의 이등분선이다. $\displaystyle \left| {\vec{OR}} \right| = \left| \frac{b {\vec{p}} + a {\vec{q}}}{\left| b {\vec{p}} + a {\vec{q}} \right|} \right| = \frac{\left| {\vec{OZ}} \right|}{\left| {\vec{OZ}} \right|} = 1$ 이므로 벡터 ${\vec{OR}}$는 단위벡터이다. 따라서 점 $R$가 나타내는 도형은 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원에서 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$인 2개의 호와 같으므로 구하는 도형의 길이는 $\displaystyle \frac{\pi}{4} \times 2 = \frac{\pi}{2}$