단면이 정사각형인 입체도형의 부피

$\displaystyle \frac{3}{4} \pi \leq x \leq \frac{5}{4} \pi$일 때 단면인 정사각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle y = \sqrt{\left( 1 - 2 x \right) \cos x}$ 이므로 단면의 넓이를 $S \left( x \right)$라 하면 $S \left( x \right) = y ^{2} = \left( 1 - 2 x \right) \cos x$ 즉 구하려는 입체도형의 부피를 $V$라 하면 $V$$\displaystyle = \int _{\frac{3}{4} \pi} ^{\frac{5}{4} \pi} {} S \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{\frac{3}{4} \pi} ^{\frac{5}{4} \pi} {} \left( 1 - 2 x \right) \cos x dx$ $1 - 2 x = u$, $\cos x = v'$라 하면 $u' = - 2$, $v = \sin x$이므로 $V$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \left( 1 - 2 x \right) \sin x \end{array} \right] _{\frac{3}{4} \pi} ^{\frac{5}{4} \pi} + \int _{\frac{3}{4} \pi} ^{\frac{5}{4} \pi} {} 2 \sin x dx$ $\displaystyle = - \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \frac{5}{2} \pi \right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \frac{3}{2} \pi \right) - 2 \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \cos x \end{array} \right] _{\frac{3}{4} \pi} ^{\frac{5}{4} \pi}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{2} \pi - \sqrt{2}$