단면이 정사각형인 입체

$x$축과 곡선 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{\ln \left( x + 1 \right)}}{x}$이 직선 $x = t$ ($1 < t < 3$)와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\left( t , 0 \right)$을 지나고 $x$축에 수직인 평면으로 입체를 자른 단면의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하면 $S \left( t \right)$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} ^{2}$$\displaystyle = \frac{\ln \left( t + 1 \right)}{t ^{2}}$ 구하는 입체도형의 부피를 $V$라 하면 $V$$\displaystyle = \int _{1} ^{3} {} S \left( t \right) dt$$\displaystyle = \int _{1} ^{3} {} \frac{\ln \left( t + 1 \right)}{t ^{2}} dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{\ln \left( t + 1 \right)}{t} \end{array} \right] _{1} ^{3} - \int _{1} ^{3} {} \left\{ - \frac{1}{t \left( t + 1 \right)} \right\} dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{\ln \left( t + 1 \right)}{t} \end{array} \right] _{1} ^{3} + \int _{1} ^{3} {} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{\ln \left( t + 1 \right)}{t} \end{array} \right] _{1} ^{3} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln t - \ln \left( t + 1 \right) \end{array} \right] _{1} ^{3}$ $\displaystyle = \left( - \frac{\ln 4}{3} + \ln 2 \right) + \left( \ln 3 - \ln 4 \right) - \left( 0 - \ln 2 \right)$ $\displaystyle = \ln 3 - \frac{2}{3} \ln 2$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \ln \frac{27}{4}$