단면이 정사각형인 입체

점 $\left( x , 0 \right)$ $\displaystyle \left( \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \right)$을 지나고 $x$축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 $S ( x )$라 하면 $S ( x )$$\displaystyle = \left\{ ( 1 + \cos x ) \sqrt{\sin x} \right\} ^{2}$$= \left( 1 + \cos x \right) ^{2} \sin x$ 따라서 구하는 부피는 $\displaystyle \int _{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}} ( 1 + \cos x ) ^{2} \sin x dx$ $1 + \cos x = t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx} = \mathit{-} \sin x$ $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle t = \frac{3}{2}$, $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$일 때 $t = 1$이므로 $\displaystyle \int _{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}} ( 1 + \cos x ) ^{2} \sin x dx$$\displaystyle = \mathit{-} \int _{\frac{3}{2}} ^{1} {} t ^{2} dt$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} t ^{3} \right] _{1} ^{\frac{3}{2}}$$\displaystyle = \frac{19}{24}$