미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

단면이 정사각형인 입체

문제

그림과 같이 곡선 y=xex(1≤x≤2)\displaystyle y = \sqrt{x} e ^{x} \left( 1 \leq x \leq 2 \right)와 xx축 및 두 직선 x=1x = 1, x=2x = 2로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

①e4+e24\displaystyle \frac{e ^{4} + e ^{2}}{4}②2e4−e24\displaystyle \frac{2 e ^{4} - e ^{2}}{4}③2e4+e24\displaystyle \frac{2 e ^{4} + e ^{2}}{4}④3e4−e24\displaystyle \frac{3 e ^{4} - e ^{2}}{4}⑤3e4+e24\displaystyle \frac{3 e ^{4} + e ^{2}}{4}

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④

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해설

V=∫12xe2xdx\displaystyle V = \int _{1} ^{2} x e ^{2x} dx=[(12x−14)e2x]12\displaystyle = \left[ \left( \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \right) e ^{2x} \right] _{1} ^{2} =34e4−14e2=3e4−e24\displaystyle = {\frac{3}{4} e ^{4} - \frac{1}{4} e ^{2} = \frac{3 e ^{4} - e ^{2}}{4}}

태그

#입체도형의 부피#부분적분

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