미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

단면이 정사각형인 입체

문제

그림과 같이 두 곡선 y=3x\displaystyle y = \frac{3}{x}, y=ln⁡x\displaystyle y = \sqrt{\ln x}와 두 직선 x=1x = 1, x=ex = e로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점]

①5−9e\displaystyle 5 - \frac{9}{e}②5−8e\displaystyle 5 - \frac{8}{e}③5−7e\displaystyle 5 - \frac{7}{e}④6−9e\displaystyle 6 - \frac{9}{e}⑤6−8e\displaystyle 6 - \frac{8}{e}

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④

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해설

∫1e(3x−ln⁡x)2dx\displaystyle \int _{1} ^{e} \left( \frac{3}{x} - \sqrt{\ln x} \right) ^{2} dx=∫1e(9x2−6xln⁡x+ln⁡x)dx\displaystyle = \int _{1} ^{e} \left( \frac{9}{x ^{2}} - \frac{6}{x} \sqrt{\ln x} + \ln x \right) dx =[−9x−4(ln⁡x)32+xln⁡x−x]1e\displaystyle = \left[ - \frac{9}{x} - 4 ( \ln x ) ^{\frac{3}{2}} + x \ln x - x \right] _{1} ^{e}=6−9e\displaystyle = 6 - \frac{9}{e}

태그

#입체도형의 부피#치환적분

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