단면이 정사각형인 입체

[출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구할 수 있는가? $x$좌표가 $t \left( 1 \leq t \leq 2 \right)$인 점을 지나고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{\frac{3 t + 1}{t ^{2}}}$인 정사각형이므로 단면의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{3 t + 1}{t ^{2}}$ 따라서 구하는 입체도형의 부피를 $V$라 하면 $V$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} {S \left( t \right)} dt$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} {\frac{3 t + 1}{t ^{2}} dt}$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} {\left( \frac{3}{t} + \frac{1}{t ^{2}} \right) dt}$ $\displaystyle = \left[ 3 \ln \left| t \right| - \frac{1}{t} \right] _{1} ^{2}$ $\displaystyle = \left( 3 \ln 2 - \frac{1}{2} \right) - \left( 3 \ln 1 - \frac{1}{1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} + 3 \ln 2$