미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

단면이 정사각형인 입체

문제

그림과 같이 곡선 y=2xe−x2\displaystyle y = 2 \sqrt{x} e ^{- x ^{2}}과 xx축 및 두 직선 x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}, x=1x = 1로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

①e−1−e−2e ^{- 1} - e ^{- 2}②e−12−e−1\displaystyle e ^{- \frac{1}{2}} - e ^{- 1}③e−12−2e−2\displaystyle e ^{- \frac{1}{2}} - 2 e ^{- 2}④e−12−e−2\displaystyle e ^{- \frac{1}{2}} - e ^{- 2}⑤2e−12−e−2\displaystyle 2 e ^{- \frac{1}{2}} - e ^{- 2}

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④

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해설

직선 x=t(12≤t≤1)\displaystyle x = t \left( \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \right)을 포함하고 xx축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 S(t)S \left( t \right)라 하면 S(t)=(2te−t2)2=4te−2t2\displaystyle S \left( t \right) = \left( 2 \sqrt{t} e ^{- t ^{2}} \right) ^{2} = 4 te ^{- 2 t ^{2}} 따라서 구하는 부피는 ∫121S(t)dt=∫1214te−2t2dt\displaystyle \int _{\frac{1}{2}} ^{1} S \left( t \right) dt = \int _{\frac{1}{2}} ^{1} 4 te ^{- 2 t ^{2}} dt −2t2=s- 2 t ^{2} = s로 놓으면 −4t=dsdt\displaystyle - 4 t = \frac{ds}{dt}이고 t=12\displaystyle t = \frac{1}{2}일 때 s=−12\displaystyle s = - \frac{1}{2}, t=1t = 1일 때 s=−2s = - 2이므로 ∫121S(t)dt=∫−12−2(−es)ds=[−es]−12−2=e−12−e−2\displaystyle \int _{\frac{1}{2}} ^{1} S \left( t \right) dt = \int _{- \frac{1}{2}} ^{- 2} \left( - e ^{s} \right) ds = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - e ^{s} \end{array} \right] _{- \frac{1}{2}} ^{- 2} = e ^{- \frac{1}{2}} - e ^{- 2}

태그

#입체도형의 부피#치환적분

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