미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

단면이 정사각형인 부피

문제

그림과 같이 양수 kk에 대하여 곡선 y=kx2x2+1\displaystyle y = \sqrt{\frac{k x}{2 x ^{2} + 1}}와 xx축 및 두 직선 x=1x = 1, x=2x = 2로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 xx축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피가 2ln⁡32 \ln 3일 때, kk의 값은? [3점]

①6\mathrm{6}②7\mathrm{7}③8\mathrm{8}④9\mathrm{9}⑤10\mathrm{10}

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③

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해설

부피는 ∫12kx2x2+1dx\displaystyle \int _{1} ^{2} {} \frac{kx}{2 x ^{2} + 1} dx =∫12{k4×(2x2+1)′2x2+1}dx\displaystyle = \int _{1} ^{2} {} \left\{ \frac{k}{4} \times \frac{( 2 x ^{2} + 1 )'}{2 x ^{2} + 1} \right\} dx =[k4ln⁡(2x2+1)]12\displaystyle = \left[ \frac{k}{4} \ln ( 2 x ^{2} + 1 ) \right] _{1} ^{2} =k4(ln⁡9−ln⁡3)\displaystyle = \frac{k}{4} \left( \ln 9 - \ln 3 \right) =k4ln⁡3\displaystyle = \frac{k}{4} \ln 3 따라서 k4ln⁡3=2ln⁡3\displaystyle \frac{k}{4} \ln 3 = 2 \ln 3에서 k=8k = 8이다.

태그

#입체도형의 부피#치환적분

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