대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

단계별 점 찍기

문제

좌표평면 위에 다음 [단계]와 같은 순서로 점을 찍는다.

[단계11] (0,1)( 0 , 1 )에 점을 찍는다. [단계22] (0,3)( 0 , 3 ), (1,3)( 1 , 3 ), (2,3)( 2 , 3 )에 이 순서대로 33개의 점을 찍는다. ⋮\vdots [단계kk] (0,2k−1)( 0 , 2 k - 1 ), (1,2k−1)( 1 , 2 k - 1 ), (2,2k−1)( 2 , 2 k - 1 ), ⋯\cdots, (2k−2,2k−1)( 2 k - 2 , 2 k - 1 )에 이 순서대로 (2k−1)( 2 k - 1 )개의 점을 찍는다. (단, kk는 자연수이다.) ⋮\vdots

이와 같은 과정으로 [단계 11]부터 시작하여 점을 찍어 나갈 때, 100100번째 찍히는 점의 좌표는 (p,q)( p , q )이다. p+qp + q의 값은? [4점]

①4646②4343③4040④3737⑤3434

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④

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해설

[단계kk]에 찍히는 점의 개수는 (2k−1)( 2 k - 1 )개이므로 [단계nn]까지 찍힌 모든 점의 개수는 ∑k=1n(2k−1)=n2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 2 k - 1 ) = n ^{2} n2=100n ^{2} = 100에서 n=10n = 10이다. 따라서, 100100번째 찍히는 점은 [단계1010]에서 1919번째로 찍히는 점이다. ∴(p,q)=(18,19)\therefore ( p , q ) = ( 18 , 19 ) ∴p+q=37\therefore p + q = 37

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