대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

다면체 면의 개수

문제

정사면체 T1T _{1}의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. T1T _{1}의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 33개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 44개를 잘라내어 팔면체 T2T _{2}를 만든다. 다시 팔면체 T2T _{2}의 모든 모서리의 삼등분점을 잡는다. T2T _{2}의 각 꼭짓점에서 가까운 삼등분점 33개와 그 꼭짓점을 모두 이어서 만든 사면체 1212개를 잘라내어 이십면체 T3T _{3}을 만든다.

이와 같은 방법으로 다면체 T4T _{4}, T5T _{5}, T6T _{6}을 만들 때, 다면체 T6T _{6}의 면의 개수는? [4점] ①480480②482482③484484④486486⑤488488

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⑤

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해설

TnT _{n}의 면의 개수를 ana _{n}, 꼭짓점의 개수를 bnb _{n}이라 하면, b1=4b _{1} = 4, bn+1=3bnb _{n + 1} = 3 b _{n}에서 bn=4⋅3n−1b _{n} = 4 \cdot 3 ^{n - 1} a1=4a _{1} = 4, an+1=an+bn=an+4⋅3n−1a _{n + 1} = a _{n} + b _{n} = a _{n} + 4 \cdot 3 ^{n - 1} ∴a6=4+∑k=154⋅3k−1=488\displaystyle \begin{aligned} a _{6} & = 4 + \sum\limits _{k = 1} ^{5} 4 \cdot 3 ^{k - 1} = 488 \end{aligned}

태그

#점화식#등비수열의 합#다면체

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