닮은 직사각형 보기

[출제의도] 닮은 도형의 성질을 이용하여 옳은 것을 알 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (참) 두 사각형 $\mathrm{ABCD}$와 $\mathrm{FCDE}$는 닮음이므로 다음이 성립한다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : \overline{AB} = \overline{FE} : \overline{FC}$ $1 : x = x : 1 - x$ ∴ $\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$ ㄴ. (참) $\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$의 양변에 $x ( 1 - x )$를 곱하면 $1 - x = x ^{2}$ ∴ $x ^{2} = 1 - x$…㉠$$ ㉠의 양변에 $x$를 곱하여 정리하면 $x ^{3} = x - x ^{2} = x - ( 1 - x ) = 2 x - 1$ 따라서 $x ^{3} - 2 x + 1 = 0$이다. ㄷ. (참) 두 사각형 $\mathrm{EFCD}$와 $\mathrm{GHDE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = 1 - \mathit{x} = x ^{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{EG}} = \mathit{2} x - 1 = x ^{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} : \overline{FC} = \overline{GH} : \overline{HD}$이다. 따라서 두 사각형 $\mathrm{EFCD}$와 $\mathrm{GHDE}$는 닮음이다. 한편 사각형 $\mathrm{EGJI}$는 정사각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EI}} = \overline{G E} = \mathit{x} ^{3}$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{ID}} = \overline{ED} - \overline{EI}$$= \mathit{x} ^{2} - x ^{3}$$= \mathit{x} ^{2} ( 1 - x )$$= x ^{2} \cdot x ^{2}$$= x ^{4}$ 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [다른 풀이] ㄷ. (참) 사각형 $\mathrm{ABCD}$와 $\mathrm{FCDE}$는 닮음이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : \overline{AB} = \mathrm{\overline{FE}} : \overline{FC} = 1 : \mathit{x}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = \mathit{x} \mathrm{\overline{FE}} = \mathit{x} \cdot x = x ^{2}$ 사각형 $\mathrm{EGHD}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{FE}} : \overline{FC} = 1 : \mathit{x}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{ED}} : \overline{EG} = \mathit{x} : 1 - x$이다. $x : 1 - x = 1 : x$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EG}} = \mathit{x} \cdot \mathrm{\overline{ED}} = \mathit{x} \cdot \mathrm{\overline{FC}} = \mathit{x} ^{3}$ 마찬가지로 $\displaystyle \mathrm{\overline{IJ}} : \overline{ID} = 1 : \mathit{x}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{ID}} = \mathit{x} \mathrm{\overline{IJ}} = \mathit{x} \mathrm{\overline{EG}} = \mathit{x} ^{4}$