닮음과 넓이의 비

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 두 삼각형의 넓이의 비를 구하는 문제를 해결한다.

두 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$가 각각 선분 $\mathrm{BD} , CD$의 중점이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{E}} F \parallel \overline{\mathrm{B}} C$ …… ㉠ 문제의 조건에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} G \parallel \overline{\mathrm{B}} C$이고 ㉠이 성립하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{E}} F \parallel \overline{\mathrm{D}} G$ 두 삼각형 $\mathrm{D} BC$, $\mathrm{D} EF$에서 $\angle \mathrm{D} BC = \angle DEF$, $\angle \mathrm{D} CB = \angle \mathrm{D} FE$(동위각)이므로 $\triangle \mathrm{D} BC \backsim \triangle DEF$ $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} B : \overline{\mathrm{D}} E = 2 : 1$이므로 $\triangle \mathrm{D} BC = 4 \triangle DEF$ …… ㉡ 두 삼각형 $\mathrm{A} DG$, $\mathrm{A} EF$에서 $\angle \mathrm{A} DG = \angle AEF$, $\angle \mathrm{A} GD = \angle \mathrm{A} FE$(동위각)이므로 $\triangle \mathrm{A} DG \backsim \triangle AEF$ $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} G : \overline{\mathrm{E}} F = \overline{\mathrm{A}} D : \overline{\mathrm{A}} E = 2 : 3$ 두 삼각형 $\mathrm{D} HG$, $\mathrm{F} HE$에서 $\angle \mathrm{H} DG = \angle HFE$, $\angle \mathrm{H} GD = \angle \mathrm{H} EF$(엇각)이므로 $\triangle \mathrm{D} HG \backsim \triangle FHE$ $\displaystyle \overline{\mathrm{G}} H : \overline{\mathrm{E}} H$$\displaystyle = \overline{\mathrm{D}} G : \overline{\mathrm{F}} E$$= 2 : 3$이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{F} HE = \frac{9}{4} \triangle DHG$, $\triangle \mathrm{D} EH$$\displaystyle = \frac{3}{2} \triangle \mathrm{D} HG$ $\triangle \mathrm{D} EF$$= \triangle \mathrm{D} EH + \triangle \mathrm{F} HE$ $\displaystyle = \frac{3}{2} \triangle \mathrm{D} HG + \frac{9}{4} \triangle DHG$ $\displaystyle = \frac{15}{4} \triangle \mathrm{D} HG$ …… ㉢ ㉡, ㉢에 의해 $\triangle \mathrm{D} BC$$\displaystyle = 4 \times \frac{15}{4} \times \triangle \mathrm{D} HG$$= 15 \triangle \mathrm{D} HG$ 삼각형 $\mathrm{D} BC$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{D} HG$의 넓이의 $15$배이다. 따라서 $k = 15$ [다른 풀이]

선분 $\mathrm{DG}$의 연장선이 선분 $\mathrm{AC}$와 만나는 점을 $\mathrm{I}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{I}$가 각각 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AC}$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}} C = 2 \overline{\mathrm{D}} I$ 삼각형 $\mathrm{A} DC$에서 선분 $\mathrm{D} I$, $\mathrm{A} F$는 중선이므로 두 중선의 교점인 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{A} DC$의 무게중심이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} G = a$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} I = \frac{3}{2} \overline{\mathrm{D}} G$$\displaystyle = \frac{3}{2} a$ $\displaystyle \overline{\mathrm{B}} C = 2 \overline{\mathrm{D}} I = 3 a$ 삼각형 $\mathrm{D} BC$에서 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$가 각각 선분 $\mathrm{B} D$, $\mathrm{C} D$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{E}} F = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{B}} C = \frac{3}{2} a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{E}} F \parallel \overline{\mathrm{B}} C$ $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} G \parallel \overline{\mathrm{B}} C$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} G \parallel \overline{\mathrm{E}} F$ 두 삼각형 $\mathrm{D} HG$, $\mathrm{F} HE$에서 $\angle \mathrm{H} DG = \angle HFE$, $\angle \mathrm{H} GD = \angle HEF$(엇각)이므로 $\triangle \mathrm{D} HG \backsim \triangle FHE$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DH}}} : {\overline{\mathrm{FH}}} = \overline{\mathrm{D}} G : \overline{\mathrm{F}} E = 2 : 3$ $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} H = b$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{F}} H = \frac{3}{2} \overline{\mathrm{D}} H = \frac{3}{2} b$ $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} F$$\displaystyle = \overline{\mathrm{D}} H + \overline{\mathrm{F}} H$$\displaystyle = b + \frac{3}{2} b = \frac{5}{2} b$ $\displaystyle \overline{\mathrm{D}} C = 2 \overline{\mathrm{D}} F = 5 b$ $\angle \mathrm{H} DG = \angle HCB$(엇각)이므로 $\angle \mathrm{H} DG = \mathit{x} ^\circ$라 하면 $\mathrm{\triangle} DHG : \mathrm{\triangle} DBC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin x ^\circ : \frac{1}{2} \times \mathit{3} a \times 5 b \times \sin x ^\circ$ $= 1 : 15$ 따라서 $k = 15$ [참고] ① 닮음비: 서로 닮은 두 도형에서 대응하는 선분의 길이의 비 ② 닮은 두 평면도형의 닮음비가 $m : n$이면 넓이의 비는 $m ^{2} : n ^{2}$이다. ③ 닮은 두 입체도형의 닮음비가 $m : n$이면 부피의 비는 $m ^{3} : n ^{3}$이다.