공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

닮음과 직선의 방정식

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A} ( 3 , 5 )$ , $\mathrm{B} ( 0 , 1 )$ , $\mathrm{C} ( 6 , - 1 )$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 한 점 $\mathrm{D}$ 와 선분 $\mathrm{\mathrm{AC}}$ 위의 한 점 $\mathrm{E}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 선분 $\mathrm{DE}$ 와 선분 $\mathrm{BC}$ 는 평행하다. (나) 삼각형 $\mathrm{ADE}$ 와 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이의 비는 $1 : 9$ 이다.

직선 $\mathrm{BE}$ 의 방정식이 $y = kx + 1$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? [4점]

① $\displaystyle \frac{1}{8}$ ② $\displaystyle \frac{1}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{3}{8}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{8}$

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④

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해설

조건 (가)에 의해 $\triangle \mathrm{ADE} \mathit{\backsim} \triangle \mathrm{ABC}$ 조건 (나)에 의해 삼각형 $\mathrm{ADE}$ 와 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이의 비가 $1 : 9$ 이므로 두 삼각형의 닮음비는 $1 : 3$ 점 $\mathrm{E}$ 는 선분 $\mathrm{AC}$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점이므로 $\mathrm{E} ( 4 , 3 )$ 직선 $\mathrm{BE}$ 의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 1$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{1}{2}$

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