공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

닮음변환과 원

문제

좌표평면에서 행렬 (k00k)\displaystyle {\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}}로 나타내어지는 일차변환에 의하여 원 C:(x−k)2+(y−k)2=k2C : \left( x - k \right) ^{2} + \left( y - k \right) ^{2} = k ^{2}이 원 C′C'으로 옮겨진다. 원 C′C'이 원 CC의 중심을 지날 때, 상수 kk의 값은? (단, k>1k > 1) [3점] ①1+2\displaystyle 1 + \sqrt{2}②1+3\displaystyle 1 + \sqrt{3}③2+2\displaystyle 2 + \sqrt{2}④2+3\displaystyle 2 + \sqrt{3}⑤1+22\displaystyle 1 + 2 \sqrt{2}

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③

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해설

[출제의도] 닮음변환 이해하기 주어진 일차변환은 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 kk인 닮음변환이므로 원 CC의 중심 (k,k)\left( k , k \right)는 점 (k2,k2)\left( k ^{2} , k ^{2} \right)으로 옮겨지고, 원 CC의 반지름의 길이 kk는 k2k ^{2}이 된다. C′:(x−k2)2+(y−k2)2=k4\left. C' : \left( x - k ^{2} \right) ^{2} + \left( y - k ^{2} \right) ^{2} = k ^{4} \right. C′C'이 CC의 중심 (k,k)\left( k , k \right)를 지나므로 (k−k2)2+(k−k2)2=k4\left( k - k ^{2} \right) ^{2} + \left( k - k ^{2} \right) ^{2} = k ^{4} k2(k2−4k+2)=0k ^{2} \left( k ^{2} - 4 k + 2 \right) = 0 k=2+2\displaystyle k = 2 + \sqrt{2} (∵k>1)\left( \because k > 1 \right) 따라서 kk의 값은 2+2\displaystyle 2 + \sqrt{2}

태그

#일차변환#원의 방정식

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