공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

닮음 행렬과 삼각함수

문제

두 행렬 A=(sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θsin⁡θ)\displaystyle A = \begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ - \cos \theta & \sin \theta \end{pmatrix}, P=(−1001)\displaystyle P = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}에 대하여 행렬 BB 가 A=PBP−1A = PBP ^{- 1}를 만족시킨다. 행렬 BB 의 모든 성분의 합이 11일 때 120πθ\displaystyle \frac{120}{\pi} \theta의 값을 구하시오. (단,0<θ<π2)\displaystyle \left( \text{단} , 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) [4점]

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20

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해설

[출제의도] 행렬의 역행렬과 곱셈 계산하기 P−1=(−1001)\displaystyle P ^{-1} = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}이므로 B=P−1APB = P ^{-1} AP =(−1001)(sin⁡θcos⁡θ−cos⁡θsin⁡θ)(−1001)\displaystyle = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \theta & \cos \theta \\ - \cos \theta & \sin \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=(sin⁡θ−cos⁡θcos⁡θsin⁡θ)\displaystyle = \begin{pmatrix} \sin \theta & - \cos \theta \\ \cos \theta & \sin \theta \end{pmatrix} 모든 성분의 합은 2sin⁡θ=12 \sin \theta = 1이므로 sin⁡θ=12\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}이고 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}이므로 θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}이다.　 ∴120πθ=20\displaystyle \therefore \frac{120}{\pi} \theta = 20

태그

#역행렬#행렬의 곱셈#삼각함수

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