다항식의 나눗셈 조건

조건 (가)에서 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$는 $x ^{2} - 5 x + 6$으로 나누어떨어지고 $x ^{2} - 5 x + 6 = \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right)$이므로 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$는 $x - 2$, $x - 3$을 각각 인수로 갖는다. $f \left( 1 \right) - g \left( 1 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$는 $x - 1$을 인수로 가지고, 조건 (나)에서 $P _{1} \left( x \right)$, $P _{2} \left( x \right)$는 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$로 나누어떨어지므로 $P _{1} \left( x \right)$, $P _{2} \left( x \right)$도 $x - 1$을 인수로 갖는다. 조건 (가)에서 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$는 $P _{1} \left( x \right)$, $P _{2} \left( x \right)$로 나누어떨어지므로 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$도 $x - 1$을 인수로 갖는다. 즉, $f \left( x \right) + g \left( x \right)$는 $x - 1$, $x - 2$, $x - 3$을 각각 인수로 갖는다. $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 각각 최고차항의 계수가 $1$인 삼차식이므로 $f \left( x \right) + g \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $2$인 삼차식이고 $f \left( x \right) + g \left( x \right) = 2 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 한편, $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 각각 최고차항의 계수가 $1$인 삼차식이므로 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$는 이차 이하의 다항식이다. (ⅰ) $f \left( x \right) - g \left( x \right)$가 이차식인 경우 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$의 이차항의 계수를 $a \left( a \neq 0 \right)$이라 하자. $P _{1} \left( x \right)$, $P _{2} \left( x \right)$가 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$로 나누어떨어지고 $P _{1} \left( x \right)$, $P _{2} \left( x \right)$가 각각 최고차항의 계수가 $1$인 이차식이므로 $\displaystyle P _{1} \left( x \right) = P _{2} \left( x \right) = \frac{1}{a} \left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\}$ 가 되어 $P _{1} \left( x \right)$, $P _{2} \left( x \right)$가 서로 다른 이차식이라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f \left( x \right) - g \left( x \right)$가 일차식인 경우 상수 $b \left( b \neq 0 \right)$에 대하여 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = b \left( x - 1 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이라 할 때, ㉠$+$㉡에서 $2 f \left( x \right) = 2 \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) + b \left( x - 1 \right)$ $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) + \frac{b}{2} \left( x - 1 \right)$ 이므로 $\displaystyle f \left( 2 \right) = \frac{b}{2} = 1$에서 $b = 2$ ㉠$-$㉡에서 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) - \left( x - 1 \right)$ (ⅲ) $f \left( x \right) - g \left( x \right)$가 상수인 경우 상수 $c$에 대하여 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = c$라 하면 $f \left( 1 \right) - g \left( 1 \right) = 0$이므로 $c = 0$이고 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = 0$ 즉, $f \left( x \right) = g \left( x \right)$가 되어 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$가 서로 다른 삼차식이라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) - \left( x - 1 \right)$이므로 $g \left( 3 \right) = - \left( 3 - 1 \right) = - 2$