다항식의 나눗셈 조건

다항식 $\left( x - 2 \right) P \left( x \right) - x ^{2}$을 $P \left( x \right) - x$로 나누었을 때의 나머지가 $P \left( x \right) - 3 x$이므로 나머지 $P \left( x \right) - 3 x$의 차수는 $P \left( x \right) - x$의 차수보다 낮아야 한다. 다항식 $P \left( x \right)$의 차수가 $\mathrm{1}$이 아니면 $P \left( x \right) - x$의 차수와 $P \left( x \right) - 3 x$의 차수는 같아지므로 $P ( x )$의 차수는 $\mathrm{1}$이다. $P \left( x \right) = ax + b \left( a \ne 0 , a , b \right.$는 실수$)$라 하자. $P \left( x \right) - 3 x = \left( a - 3 \right) x + b$는 상수이므로 $a = 3$ $P \left( x \right) = 3 x + b$에 대하여 $\left( x - 2 \right) P \left( x \right) - x ^{2}$$= \left\{ P \left( x \right) - x \right\} Q \left( x \right) + P \left( x \right) - 3 x$ 위 식을 정리하면 $\left\{ P \left( x \right) - x \right\} Q \left( x \right)$$= \left( x - 2 \right) P \left( x \right) - x ^{2} - \left\{ P \left( x \right) - 3 x \right\}$ $= \left\{ P \left( x \right) - x \right\} \left( x - 3 \right)$ 이므로 $Q \left( x \right) = x - 3$ $P \left( x \right)$를 $x - 3$으로 나눈 나머지는 $\mathrm{10}$이므로 나머지정리에 의하여 $P \left( 3 \right) = 9 + b = 10$, $b = 1$ $P \left( x \right) = 3 x + 1$ 따라서 $P \left( 30 \right) = 91$