다항식의 나눗셈

[출제의도] 다항식의 나눗셈과 항등식을 이용하여 다항식을 구하는 문제를 해결한다. 다항식 ${f ( x )}$를 ${x ^{2} + g ( x )}$로 나눈 몫은 ${x + 2}$이고 나머지는 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$이므로 ${f ( x ) = \left\{ x ^{2} + g ( x ) \right\} ( x + 2 ) + \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$ …… ㉠ 이고 이때 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$의 차수는 ${x ^{2} + g ( x )}$의 차수보다 작다. ${g ( x )}$의 차수가 ${n}$${\left( n {\geq} 2 \right)}$이면 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$의 차수가 ${2 n}$으로 ${x ^{2} + g ( x )}$의 차수인 ${n}$보다 크게 되어 조건을 만족시키지 않는다. ${g ( x )}$가 상수이면 ${x ^{2} + g ( x )}$의 차수와 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$의 차수가 ${2}$로 같게 되어 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 ${g ( x )}$의 차수는 ${1}$이다. 이때 ${x ^{2} + g ( x )}$는 이차식이므로 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$은 일차식 또는 상수이어야 한다. ${g ( x )}$의 일차항의 계수가 양수이므로 ${g ( x ) = x + a}$(단, ${a}$는 상수)로 놓을 수 있다. ㉠에서 ${f ( x )}$${= ( x ^{2} + x + a ) ( x + 2 ) + ( x + a ) ^{2} - x ^{2}}$${= ( x ^{2} + x + a ) ( x + 2 ) + 2 ax + a ^{2}}$ 조건 (나)에서 ${f ( x )}$가 ${g ( x ) = x + a}$로 나누어떨어지므로 ${f ( - a ) = 0}$이다. ${f ( - a )}$${= ( a ^{2} - a + a ) ( - a + 2 ) - 2 a ^{2} + a ^{2}}$${= \mathit{-} a ^{3} + a ^{2} = 0}$ ${a ^{2} ( a - 1 ) = 0}$에서 ${a = 0}$ 또는 ${a = 1}$ ${a = 0}$이면 ${f ( x ) = \left( x ^{2} + x \right) ( x + 2 )}$에서 ${f ( 0 ) = 0}$이 되어 조건을 만족시키지 않는다. ${a = 1}$이면 ${f ( x ) = ( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 2 ) + 2 x + 1}$에서 ${f ( 0 ) \ne 0}$이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 ${f ( x ) = ( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 2 ) + 2 x + 1}$이고 ${f ( 2 ) = 7 \times 4 + 4 + 1 = 33}$ [다른 풀이] 다항식 ${f ( x )}$를 ${x ^{2} + g ( x )}$로 나눈 몫이 ${x + 2}$이고 나머지가 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$이므로 ${f ( x )}$${= \left\{ x ^{2} + g ( x ) \right\} ( x + 2 ) + \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$ ${= x ^{2} \left( x + 2 \right) + ( x + 2 ) g ( x ) + \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$ ${= \left( x + 2 \right) g ( x ) + \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} + x ^{2} \left( x + 2 \right) - x ^{2}}$ ${= g ( x ) \left\{ x + 2 + g ( x ) \right\} + x ^{3} + x ^{2}}$ ${= g ( x ) \left\{ x + 2 + g ( x ) \right\} + x ^{2} \left( x + 1 \right)}$ 이때 ${f ( x )}$는 ${g ( x )}$로 나누어떨어지므로 ${x ^{2} \left( x + 1 \right)}$도 ${g ( x )}$로 나누어떨어져야 한다. …… ㉠ ${f ( 0 )}$${= g ( 0 ) \left\{ 2 + g ( 0 ) \right\}}$${\ne 0}$에서 ${g ( 0 ) \ne 0}$이고 ${g ( 0 ) \ne \mathit{-} 2}$이다. …… ㉡ ${g ( x )}$의 최고차항의 계수가 양수이고 ㉠, ㉡에 의하여 ${g ( x )}$${= k \left( x + 1 \right)}$(${k > 0}$) 한편, ${x ^{2} + g ( x )}$로 나눈 나머지가 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$이므로 ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$의 차수가 ${x ^{2} + g ( x )}$의 차수보다 작아야 한다. ${x ^{2} + g ( x )}$${= x ^{2} + k ( x + 1 )}$${= x ^{2} + kx + k}$ ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$${= \left\{ k \left( x + 1 \right) \right\} ^{2} - x ^{2}}$${= \left( k ^{2} - 1 \right) x ^{2} + 2 k ^{2} x + k ^{2}}$ 즉, ${\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} - x ^{2}}$의 차수가 ${x ^{2} + g ( x )}$의 차수보다 작으려면 ${k ^{2} - 1 = 0}$이어야 한다. ${k > 0}$이므로 ${k = 1}$ ${f ( x )}$${= \left( x + 1 \right) \left\{ x + 2 + ( x + 1 ) \right\} + x ^{2} \left( x + 1 \right)}$${= ( x + 1 ) ( 2 x + 3 ) + x ^{2} \left( x + 1 \right)}$ 따라서 ${f ( 2 )}$${= ( 2 + 1 ) ( 2 \times 2 + 3 ) + 2 ^{2} {\times} \left( 2 + 1 \right)}$${= 3 \times 7 + 4 {\times} 3}$${= 33}$