다항식의 나머지와 시그마

자연수 $n$에 대하여 다항식 $\left( x + 1 \right) ^{n}$을 $x \left( x - 1 \right)$로 나누었을 때의 몫을 $Q \left( x \right)$, 나머지를 $R _{n} \left( x \right) = ax + b$($a$, $b$는 상수)라 하면 $\left( x + 1 \right) ^{n}$$= x \left( x - 1 \right) Q \left( x \right) + ax + b$ 양변에 $x = 0$을 대입하면 $1 = b$ $\cdots \cdots$ ㉠ 양변에 $x = 1$을 대입하면 $2 ^{n} = a + b$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = 2 ^{n} - 1$, $b = 1$ 즉, $R _{n} \left( x \right) = \left( 2 ^{n} - 1 \right) x + 1$이므로 $R _{n} \left( 2 \right)$$= \left( 2 ^{n} - 1 \right) \times 2 + 1$$= 2 ^{n + 1} - 1$ $\therefore$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} R _{n} \left( 2 \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{8} \left( 2 ^{n + 1} - 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{4 \left( 2 ^{8} - 1 \right)}{2 - 1} - 8$ $= 2 ^{10} - 12$ $= 1012$