다항식 나눗셈 조건

[출제의도] 다항식의 나눗셈과 나머지 정리를 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 다항식 $f ( x )$를 다항식 $g ( x )$로 나눈 나머지가 $g ( x ) - 2 x ^{2}$이고 나머지 $g ( x ) - 2 x ^{2}$의 차수는 다항식 $g ( x )$의 차수보다 작아야 하므로 다항식 $g ( x )$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차식이다. 즉, $g ( x )$$= 2 x ^{2} + ax + b$($a$, $b$는 상수) 조건 (가)를 식으로 나타내면 $f ( x )$$= g ( x ) \left\{ g ( x ) - 2 x ^{2} \right\} + g ( x ) - 2 x ^{2}$ $= \left\{ g ( x ) + 1 \right\} \left\{ g ( x ) - 2 x ^{2} \right\}$ $= \left( 2 x ^{2} + ax + b + 1 \right) \left( ax + b \right)$ $f ( x )$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ 따라서 $f ( x )$$\displaystyle = \left( 2 x ^{2} + \frac{1}{2} x + b + 1 \right) \left( \frac{1}{2} x + b \right)$ 조건 (나)에서 나머지 정리에 의해 $\displaystyle f ( 1 ) = \mathit{-} \frac{9}{4}$이므로 $f ( 1 )$$\displaystyle = \left( 2 + \frac{1}{2} + b + 1 \right) \left( \frac{1}{2} + b \right)$$\displaystyle = \left( b + \frac{7}{2} \right) \left( b + \frac{1}{2} \right)$$\displaystyle = b ^{2} + 4 b + \frac{7}{4}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{9}{4}$ $b ^{2} + 4 b + 4 = 0$ $\left( b + 2 \right) ^{2} = 0$ $b = \mathit{-} 2$ 따라서 $f ( x )$$\displaystyle = \left( 2 x ^{2} + \frac{1}{2} x - 1 \right) \left( \frac{1}{2} x - 2 \right)$이고 $f ( 6 )$$= \left( 72 + 3 - 1 \right) \times \left( 3 - 2 \right)$$= 74$