공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

다항식 나눗셈 조건

문제

다항식 f(x)=x3−x2+ax+bf \left( x \right) = x ^{3} - x ^{2} + ax + b를 다항식 x2−2x−2x ^{2} - 2 x - 2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)Q \left( x \right), 나머지를 R(x)R \left( x \right)라 하자. R(2)=9R \left( 2 \right) = 9이고 f(x)f \left( x \right)는 Q(x)Q \left( x \right)로 나누어떨어질 때, f(4)f \left( 4 \right)의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 상수이다.) [4점]

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45

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해설

[출제의도] 다항식의 나눗셈을 이용하여 식의 값을 구한다. f(x)=x3−x2+ax+bf \left( x \right) = x ^{3} - x ^{2} + ax + b를 x2−2x−2x ^{2} - 2 x - 2로 나누면

xx++ 11
x2−2x−2x ^{2} - 2 x - 2x3x ^{3}−x2- x ^{2}+ax+ ax+b+ b
x3x ^{3}−2x2- 2 x ^{2}−2x- 2 x
x2x ^{2} +(a+2)x+ \left( a + 2 \right) x+b+ b
x2x ^{2}−2x- 2 x −2- 2
(a+4)x\left( a + 4 \right) x+(b+2)+ \left( b + 2 \right)

이므로 Q(x)=x+1Q \left( x \right) = x + 1, R(x)=(a+4)x+b+2R \left( x \right) = \left( a + 4 \right) x + b + 2 R(2)=2(a+4)+b+2=9R \left( 2 \right) = 2 ( a + 4 ) + b + 2 = 9 이므로 2a+b=−12 a + b = \mathit{-} 1 …… ㉠ f(x)f ( x )가 x+1x + 1로 나누어떨어지므로 f(−1)=−1−1−a+b=0f \left( - 1 \right) = \mathit{-} 1 \mathit{-} 1 - a + b = 0 a−b=−2a - b = \mathit{-} 2 …… ㉡ ㉠, ㉡에 의해 a=−1a = \mathit{-} 1, b=1b = 1 f(x)=x3−x2−x+1f ( x ) = x ^{3} - x ^{2} - x + 1 따라서 f(4)f \left( 4 \right)=43−42−4+1= 4 ^{3} - 4 ^{2} - 4 + 1=64−16−4+1= 64 - 16 - 4 + 1=45= 45 [다른 풀이] f(x)=x3−x2+ax+bf \left( x \right) = x ^{3} - x ^{2} + ax + b를 x2−2x−2x ^{2} - 2 x - 2로 나누었을 때의 몫이 Q(x)=x+1Q \left( x \right) = x + 1이므로 R(x)R \left( x \right)가 x+1x + 1로 나누어떨어진다. R(x)=k(x+1)R \left( x \right) = k \left( x + 1 \right) R(2)=9R \left( 2 \right) = 9에서 k=3k = 3 R(x)=3(x+1)R \left( x \right) = 3 \left( x + 1 \right) 다항식 x2−2x−2x ^{2} - 2 x - 2를 g(x)g \left( x \right)라 하면 f(x)=g(x)Q(x)+R(x)f \left( x \right) = g \left( x \right) Q \left( x \right) + R \left( x \right)에서 f(4)f \left( 4 \right)=g(4)Q(4)+R(4)= g \left( 4 \right) Q \left( 4 \right) + R \left( 4 \right) =(42−2×4−2)×= \left( 4 ^{2} - 2 \times 4 - 2 \right) \times(4+1)\left( 4 + 1 \right)+3×(4+1)+ 3 \times \left( 4 + 1 \right) =6×5+3×5= 6 \times 5 + 3 \times 5 =45= 45

태그

#다항식의 나눗셈#나머지정리

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