다항식 나눗셈 조건

$f ( x ) g ( x )$를 $f ( x ) - 2 x ^{2}$으로 나누었을 때의 몫은 $x ^{2} - 3 x + 3$이고 나머지는 $f ( x ) + x g ( x )$이므로 $f ( x ) g ( x )$$= \left\{ f \left( x \right) - 2 x ^{2} \right\} \left( x ^{2} - 3 x + 3 \right) + f \left( x \right) + xg \left( x \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. ㉠의 좌변이 삼차식이므로 우변도 삼차식이다. $\left\{ f \left( x \right) - 2 x ^{2} \right\} \left( x ^{2} - 3 x + 3 \right)$이 삼차식이므로 $f ( x ) - 2 x ^{2}$은 일차식이고 나머지 $f ( x ) + x g ( x )$는 상수이다. $f ( x ) - 2 x ^{2} = a x + b$라 하면 나머지 $f ( x ) + x g ( x ) = \left( 2 x ^{2} + a x + b \right) + x g ( x )$는 상수이므로 $g \left( x \right) = - 2 x - a$이고 $f \left( x \right) + xg \left( x \right) = b$이다. ㉠에 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} + ax + b$, $g \left( x \right) = - 2 x - a$를 대입하면 $\left( 2 x ^{2} + ax + b \right) \left( - 2 x - a \right)$ $= \left( ax + b \right) \left( x ^{2} - 3 x + 3 \right) + b$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. ㉡의 좌변의 최고차항의 계수가 $\mathrm{-} 4$이므로 $a = - 4$이다. ㉡의 양변에 $x = 2$를 대입하면 $0 = ( - 8 + b ) \times 1 + b$에서 $b = 4$이다. 따라서 $f ( x ) = 2 x ^{2} - 4 x + 4$이므로 $f ( - 2 ) = 20$이다.