다항식 나누어떨어짐

[출제의도] 여러 가지 방정식 문제 해결하기 다항식 $P _{n} \left( x \right)$를 $x ^{2} + x + 1$로 나눌 때 몫을 $A _{n} \left( x \right)$라 하자. $P _{n} \left( x \right)$가 $x ^{2} + x + 1$로 나누어떨어지므로 $( 1 + x ) ( 1 + x ^{2} ) ( 1 + x ^{3} ) \cdots ( 1 + x ^{n - 1} ) ( 1 + x ^{n} ) - 64$$= ( x ^{2} + x + 1 ) A _{n} \left( x \right)$이다. 이차방정식 $x ^{2} + x + 1 = 0$의 한 허근을 $\omega$라고 하면 $\omega ^{2} + \omega + 1 = 0$, $\omega ^{3} = 1$이다. $\omega$는 $P _{n} \left( x \right) = 0$의 근이므로 $P _{n} \left( \omega \right) = 0$이다. $Q _{n} \left( x \right) = ( 1 + x ) ( 1 + x ^{2} ) ( 1 + x ^{3} ) \cdots ( 1 + x ^{n - 1} ) ( 1 + x ^{n} )$이라 할 때, $P _{n} \left( \omega \right) = 0$이 되려면 $Q _{n} \left( \omega \right) = 64$이어야 한다. $Q _{5} \left( \omega \right) = ( 1 + \omega ) ( 1 + \omega ^{2} ) ( 1 + \omega ^{3} ) ( 1 + \omega ^{4} ) ( 1 + \omega ^{5} )$ $= ( - \omega ^{2} ) \cdot ( - \omega ) \cdot 2 \cdot ( - \omega ^{2} ) \cdot ( - \omega ) = 2$ $Q _{6} \left( \omega \right) = ( - \omega ^{2} ) \cdot ( - \omega ) \cdot 2 \cdot ( - \omega ^{2} ) \cdot ( - \omega ) \cdot 2 = 4$ $Q _{7} \left( \omega \right) = Q _{6} \left( \omega \right) \cdot ( - \omega ^{2} ) = 4 \cdot ( - \omega ^{2} ) = \mathit{-} 4 \omega ^{2}$ $Q _{8} \left( \omega \right) = Q _{7} \left( \omega \right) \cdot ( - \omega ) = ( - 4 \omega ^{2} ) \cdot ( - \omega ) = 4$ $Q _{9} \left( \omega \right) = Q _{8} \left( \omega \right) \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$ $Q _{10} \left( \omega \right) = Q _{9} \left( \omega \right) \cdot ( - \omega ^{2} ) = \mathit{-} 8 \omega ^{2}$ $Q _{11} \left( \omega \right) = Q _{10} \left( \omega \right) \cdot ( - \omega ) = 8$ $\vdots$ $Q _{18} \left( \omega \right) = 64$ $Q _{19} \left( \omega \right) = \mathit{-} 64 \omega ^{2}$ $Q _{20} \left( \omega \right) = 64$ 이다. 따라서 $n = 18$ 또는 $n = 20$이고 모든 자연수 $n$의 값의 합은 $18 + 20 = 38$이다.