공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

다항식 나머지 조건

문제

$x$ 에 대한 이차 다항식 $f ( x )$ 가 다음 조건을 만족한다.


	(가) $x ^{3} + 3 x ^{2} + 4 x + 2$ 를 $f ( x )$ 로 나눈 나머지는 $g ( x )$ 이다. (나) $x ^{3} + 3 x ^{2} + 4 x + 2$ 를 $g ( x )$ 로 나눈 나머지는 $f ( x ) - x ^{2} - 2 x$ 이다.

이때, $g ( 1 )$ 의 값은? [4점] ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$

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②

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해설

[출제의도] 다항식의 나눗셈 이해하기 $x ^{3} + 3 x ^{2} + 4 x + 2 = f ( x ) Q ( x ) + g ( x ) \cdots$ ㉠ $x ^{3} + 3 x ^{2} + 4 x + 2$ $= g ( x ) Q' ( x ) + f ( x ) - x ^{2} - 2 x \cdots$ ㉡ $f ( x )$ 는 $2$ 차의 다항식이므로 $g ( x )$ 는 $1$ 차 이하의 다항식임을 알 수 있다. 또한 ㉡식으로부터 $g ( x )$ 로 나눈 나머지는 상수항이 되어야 하므로 $f ( x ) - x ^{2} - 2 x = a$ ( $a$ 는 상수)이다. 등식 ㉠으로부터 $g ( x ) = ( 2 - a ) ( x + 1 )$ 이다. 식 ㉡은 $x ^{3} + 3 x ^{2} + 4 x + 2 = ( 2 - a ) ( x + 1 ) Q' ( x ) + a$ 인 항등식이므로 $x = - 1$ 을 대입하면 $a = 0$ $\therefore g ( x ) = 2 ( x + 1 )$ 따라서 $g ( 1 ) = 4$

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