다항식 최대공약수

[출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수의 정의를 이용하여 미정계수를 정한다. 두 다항식 $A$와 $B$를 인수분해하면 $A = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $B = \left( x + 2 \right) \left( x - 3 \right)$ 이므로 $A$와 $B$의 최대공약수인 $A \triangle B$는 $A \triangle B = x - 3$ 이고 $\left( A \triangle B \right) \nabla C$$= \left( x - 3 \right) \nabla \left( x ^{3} + 4 x ^{2} + x - a \right)$ 가 된다. $\left( A \triangle B \right) \nabla C$는 $x - 3$과 $x ^{3} + 4 x ^{2} + x - a$의 최소공배수이고, 이 최소공배수가 $x$에 대한 삼차식이므로 $x - 3$은 $x ^{3} + 4 x ^{2} + x - a$의 인수이다. $f ( x ) = x ^{3} + 4 x ^{2} + x - a$라 할 때, 인수정리에 의해 $f ( 3 ) = 0$이므로 $f ( 3 ) = 3 ^{3} + 4 \times 3 ^{2} + 3 - a = 0$ 따라서 $a = 27 + 36 + 3$$= 66$