다항식 배수 조건

[출제의도]　나머지정리를 이용하여 배수 문제를 해결한다. $n ^{4} + n ^{2} - 2 = ( n ^{2} - 1 ) ( n ^{2} + 2 )$ $= ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n ^{2} + 2 )$ $= ( n - 1 ) ( n ^{3} + n ^{2} + 2 n + 2 )$ $= ( n - 1 ) \left\{ ( n - 2 ) ( n ^{2} + 3 n + 8 ) + 18 \right\}$ $= ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n ^{2} + 3 n + 8 ) + 18 ( n - 1 ) \cdots$ ㉠ $( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n ^{2} + 3 n + 8 )$이 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수이므로 ㉠이 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수가 되기 위해서는 $18 ( n - 1 )$이 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수가 되어야 한다. 즉, $18 ( n - 1 ) = ( n - 1 ) ( n - 2 ) k$ (단, $k$는 자연수) $18 = ( n - 2 ) k$이고, $k$가 최솟값을 가질 때 $n$이 최댓값을 가지므로 $k = 1$일 때 $n$이 최대이다. 따라서 $n = 20$ [다른 풀이] $n ^{4} + n ^{2} - 2$를 조립제법을 사용하여 $( n - 1 ) ( n - 2 )$로 나누면 다음과 같다.

$n ^{4} + n ^{2} - 2$를 $n - 1$로 나눈 몫은 $n ^{3} + n ^{2} + 2 n + 2$, 나머지는 $0$이므로 $n ^{4} + n ^{2} - 2 = ( n - 1 ) ( n ^{3} + n ^{2} + 2 n + 2 )$ $n ^{3} + n ^{2} + 2 n + 2$를 $n - 2$로 나눈 몫은 $n ^{2} + 3 n + 8$, 나머지는 $18$이다. 그러므로 식을 정리하면 $n ^{4} + n ^{2} - 2 =$$( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n ^{2} + 3 n + 8 ) + 18 ( n - 1 )$ 문제의 조건에서 $( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n ^{2} + 3 n + 8 ) + 18 ( n - 1 )$은 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수이다. 그런데 $( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n ^{2} + 3 n + 8 )$이 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수이므로 $18 ( n - 1 )$도 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수가 되어야 한다. $18 ( n - 1 ) = ( n - 1 ) ( n - 2 ) k$ (단, $k$는 자연수) $18 = ( n - 2 ) k$ $k$가 최솟값을 가질 때 $n$이 최댓값을 가지므로 $k = 1$일 때 $n$이 최대이다. 따라서 $n = 20$ [참고] $n ^{4} + n ^{2} - 2$를 $( n - 1 ) ( n - 2 )$로 나누면

$n ^{4} + n ^{2} - 2 = \left( n - 1 \right) ( n - 2 ) \left( n ^{2} + 3 n + 8 \right) + 18 n - 18$이다. $\left( n - 1 \right) ( n - 2 ) \left( n ^{2} + 3 n + 8 \right)$은 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수이므로 $n ^{4} + n ^{2} - 2$가 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수가 되기 위해서는 $18 n - 18$이 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수이어야 한다. 따라서 $18 n - 18 = 18 ( n - 1 )$$= k ( n - 1 ) ( n - 2 )$ (단, $k$는 자연수) 라고 할 수 있다. 양변을 $n - 1$로 나누면 $18 = k ( n - 2 )$ $n - 2 = 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18$이고 $n = 3 , 4 , 5 , 8 , 11 , 20$이다. (ⅰ) $n = 3$이면 $n ^{4} + n ^{2} - 2 =$$88$, $\left( n - 1 \right) ( n - 2 ) =$$2$이고 $88$은 $2$의 배수 ($88 = 2 \times 44$) (ⅱ) $n = 4$이면 $n ^{4} + n ^{2} - 2 =$$270$, $\left( n - 1 \right) ( n - 2 ) =$$6$이고 $270$은 $6$의 배수 ($270 = 6 \times 45$) (ⅲ) $n = 5$이면 $n ^{4} + n ^{2} - 2 =$$648$, $\left( n - 1 \right) ( n - 2 ) =$$12$이고 $648$은 $12$의 배수 ($648 = 12 \times 54$) (ⅳ) $n = 8$이면 $n ^{4} + n ^{2} - 2 =$$4158$, $\left( n - 1 \right) ( n - 2 ) =$$42$이고 $4158$은 $42$의 배수 ($4158 = 42 \times 99$) (ⅴ) $n = 11$이면 $n ^{4} + n ^{2} - 2 =$$14760$, $\left( n - 1 \right) ( n - 2 ) =$$90$이고 $14760$은 $90$의 배수 ($14760 = 90 \times 164$) (ⅵ) $n = 20$이면 $n ^{4} + n ^{2} - 2 =$$160398$, $\left( n - 1 \right) ( n - 2 ) =$$342$이고 $160398$은 $342$의 배수 ($160398 = 342 \times 469$) ∴ $n = 3 , 4 , 5 , 8 , 11 , 20$일 때 $n ^{4} + n ^{2} - 2$는 $( n - 1 ) ( n - 2 )$의 배수이다. 따라서 $n = 20$