미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

다항함수 정적분

문제

두 다항함수 $f ( x )$ , $g ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 $x$ 에 대하여 (가) $f ( x ) g ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2} - x - 3$ (나) $f' ( x ) = 1$ (다) $\displaystyle g ( x ) = 2 \int _{1} ^{x} {} f ( t ) dt$

$\displaystyle \int _{0} ^{3} {} 3 g ( x ) dx$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

(가)에서 $f ( x ) g ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 3 )$ (다)에서 $g' ( x ) = 2 f ( x )$ , $g ( 1 ) = 0$ 이므로 $f ( x ) = x + 1 , g ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 3 )$ ( $\because$ $f' ( x ) = 1$ ) $\therefore$ $\displaystyle \int _{0} ^{3} 3 g ( x ) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{3} 3 ( x ^{2} + 2 x - 3 ) dx$ $= 27$

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