다항함수 극한 조건

[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 다항함수를 찾을 수 있는가? (ⅰ) $n = 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{f ( x ) - 4 x ^{3} + 3 x ^{2}}{x ^{2} + 1} = 6$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x} = 4$ 를 만족시키려면 $f ( x ) = 4 x ^{3} + 3 x ^{2} + ax$ ($a$는 상수) 의 꼴이어야 한다. 이때, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x} = \lim\limits _{x\rightarrow 0} ( 4 x ^{2} + 3 x + a ) = a$ 이므로 $a = 4$ 즉, $f ( x ) = 4 x ^{3} + 3 x ^{2} + 4 x$이므로 $f ( 1 ) = 4 + 3 + 4 = 11$ (ⅱ) $n = 2$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{f ( x ) - 4 x ^{3} + 3 x ^{2}}{x ^{3} + 1} = 6$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 4$ 를 만족시키려면 $f ( x ) = 10 x ^{3} + b x ^{2}$ ($b$는 상수) 의 꼴이어야 한다. 이때, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x} = \lim\limits _{x\rightarrow 0} ( 10 x + b ) = b$ 이므로 $b = 4$ 즉, $f ( x ) = 10 x ^{3} + 4 x ^{2}$이므로 $f ( 1 ) = 10 + 4 = 14$ (ⅲ) $n \geq 3$ 일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{f ( x ) - 4 x ^{3} + 3 x ^{2}}{x ^{n+1} + 1} = 6$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x ^{n}} = 4$ 를 만족시키려면 $f ( x ) = 6 x ^{n+1} + c x ^{n}$ ($c$는 상수) 의 꼴이어야 한다. 이때, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{f ( x )}{x ^{n}} = \lim\limits _{x\rightarrow 0} ( 6 x + c ) = c$ 이므로 $c = 4$ 즉, $f ( x ) = 6 x ^{n+1} + 4 x ^{n}$이므로 $f ( 1 ) = 6 + 4 = 10$ (ⅰ)~(ⅲ)에 의하여 구하는 $f ( 1 )$의 최댓값은 $14$