대우가 참인 순서쌍의 개수

주어진 명제가 참인 것과 그 대우 ‘$x ^{2} - 6 x + b = 0$이면 $x = a$이다.’ 가 참인 것은 같다. 즉 방정식 $x ^{2} - 6 x + b = 0$의 모든 실근이 $a$이어야 한다. 이차방정식 $x ^{2} - 6 x + b = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 9 - b$ (ⅰ) $b \leq 8$이면 $D > 0$이므로 서로 다른 두 실근을 가지고, 두 실근이 모두 $a$일 수는 없으므로 명제는 거짓 (ⅱ) $b = 9$이면 $( x - 3 ) ^{2} = 0$에서 실근은 $x = 3$뿐이므로 $a = 3$일 때만 참 (ⅲ) $b = 10$이면 $D < 0$이므로 실근이 없다. 조건 ‘$x ^{2} - 6 x + 10 = 0$’의 진리집합이 공집합이므로 대우는 $a$의 값에 관계없이 참이고, $a$는 $1$부터 $10$까지 $10$개 따라서 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $1 + 10 = 11$