대우가 참이 되게 하는 계수 구하기

주어진 명제가 참이면 그 대우도 참이다. ‘$x \ne 1$이고 $x \ne 3$’의 부정은 ‘$x = 1$ 또는 $x = 3$’이므로 대우는 ‘실수 $x$에 대하여 $x = 1$ 또는 $x = 3$이면 $x ^{2} + ax + b = 0$이다.’ 즉 $x = 1$과 $x = 3$이 모두 방정식 $x ^{2} + ax + b = 0$의 해이어야 한다. $x = 1$을 대입하면 $1 + a + b = 0$ $x = 3$을 대입하면 $9 + 3 a + b = 0$ 두 식을 연립하면 $2 a = - 8$에서 $a = - 4$, $b = 3$ (검산: $x ^{2} - 4 x + 3 = ( x - 1 ) ( x - 3 )$이므로 $x ^{2} - 4 x + 3 \ne 0$이면 $x \ne 1$이고 $x \ne 3$이다.) 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 16 + 9 = 25$