대표 선출 방법의 수와 남녀 학생 수의 차

ⅰ) 남학생 또는 여학생 수가 $1$명인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는 $\mathrm{_{1}} C _{1} \times _{14} \mathrm{C} _{2}$$= 91$ 이 경우 주어진 조건을 만족시키지 못한다. ⅱ) 남학생 또는 여학생 수가 $2$명인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는 $\mathrm{_{2}} C _{1} \times _{13} \mathrm{C} _{2}$$+$$\mathrm{_{2}} C _{2} \times _{13} \mathrm{C} _{1}$$= 169$ 이 경우 주어진 조건을 만족시키지 못한다. ⅲ) 남학생과 여학생 수가 모두 $3$명 이상인 경우에 대표를 선출하는 방법의 수는 남학생의 수를 $n$이라 할 때, ${}_{n} {\mathrm{C}} _{2} \times _{15-n} {\mathrm{C}} _{1} + _{n} {\mathrm{C}} _{1} \times _{15-n} {\mathrm{C}} _{2}$ $\displaystyle = \frac{n ( n - 1 )}{2} \times ( 15 - n ) + n \times \frac{( 15 - n ) ( 14 - n )}{2}$$\displaystyle = \frac{13 n ( 15 - n )}{2}$ $\displaystyle \frac{13 n ( 15 - n )}{2} = 286$에서 $n ( 15 - n ) = 44$$= 4 \times 11$ ∴ $n = 4$ 또는 $n = 11$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 남학생수와 여학생수는 각각 $4$명, $11$명 또는 $11$명, $4$명이다. 따라서 구하는 남학생 수와 여학생 수의 차는 $11 - 4 = 7$이다.