미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

댐 저수량의 극한

문제

어느 강 상류와 하류에 각각 위치한 11호 댐과 22호 댐이 있다. 강 상류의 11호 댐으로부터 22호 댐으로 매일 100100만톤의 물이 유입되고, 정오에 22호 댐의 저수량을 측정한다. 정오부터는 측정된 저수량의 22%를 농업용수와 생활용수 등을 위하여 강 하류로 방류한다고 한다. 매일 이와 같은 과정이 한없이 반복된다고 할 때, 정오에 측정되는 2호 댐의 저수량은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? (단, 방류는 그날 중으로 이루어지고 자연 증발 및 기타 유실량은 무시한다.) [4점]

①44004400만톤②46004600만톤③48004800만톤④50005000만톤⑤52005200만톤

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④

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해설

nn일 후 정오에 측정한 22호 댐의 저수량을 xnx _{n}(만톤)이라 하면 xn×0.98+100=xn+1x _{n} \times 0.98 + 100 = x _{n + 1} (xn+1−5000)=0.98(xn−5000)( x _{n + 1} - 5000 ) = 0.98 ( x _{n} - 5000 ) ∴xn−5000=(x1−5000)0.98n−1\therefore x _{n} - 5000 = ( x _{1} - 5000 ) 0.98 ^{n - 1} lim⁡n→∞xn=5000+lim⁡n→∞(x1−5000)0.98n−1=5000\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x _{n}} = 5000 + \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( x _{1} - 5000 ) 0.98 ^{n - 1} = 5000 따라서, 측정되는 저수량은 50005000만톤에 한없이 가까워진다.

태그

#점화식#수열의 극한#실생활

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