대각선의 교점이 원점인 마름모의 넓이

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 원점 $\mathrm{O}$ 는 두 대각선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$ 의 중점이다. 점 $\mathrm{C}$ 는 원점에 대하여 점 $\mathrm{A}$ 와 대칭인 점이므로 $\mathrm{C} ( - 3 , - 1 )$ $\mathrm{B} ( a , b )$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BA}} = \overline{\mathrm{BC}}$ 에서 $( a - 3 ) ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} = ( a + 3 ) ^{2} + ( b + 1 ) ^{2}$ $- 6 a - 2 b = 6 a + 2 b$ 에서 $b = - 3 a$ 점 $\mathrm{B}$ 는 직선 $x + y = 4$ 위의 점이므로 $a - 3 a = 4$ 에서 $a = - 2$, $b = 6$ 즉 $\mathrm{B} ( - 2 , 6 )$ 이고, 점 $\mathrm{D}$ 는 원점에 대하여 점 $\mathrm{B}$ 와 대칭인 점이므로 $\mathrm{D} ( 2 , - 6 )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{6 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{10}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{4 ^{2} + 12 ^{2}} = 4 \sqrt{10}$ 마름모의 넓이는 두 대각선의 길이의 곱의 반이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{10} \times 4 \sqrt{10} = 40$ 따라서 마름모 $\mathrm{ABCD}$ 의 넓이는 $40$이다.