공통수학1다항식의 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

대칭식을 이용한 거듭제곱의 합

문제

실수 x,y,zx , y , z가 다음을 만족시킬 때, x5+y5+z5x ^{5} + y ^{5} + z ^{5}의 값을 구하시오. [4점] x+y+z=5,x2+y2+z2=15,xyz=−3x + y + z = 5 , x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 15 , xyz = - 3

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해설

xy+yz+zx=12{(x+y+z)2−(x2+y2+z2)}=5\displaystyle xy + yz + zx = \frac{1}{2} \left\{ ( x + y + z ) ^{2} - ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) \right\} = 5 x3+y3+z3=(x+y+z){x2+y2+z2−xy−yz−zx}+3xyz=41x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} = ( x + y + z ) \left\{ x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} - xy - yz - zx \right\} + 3 xyz = 41 x5+y5+z5x ^{5} + y ^{5} + z ^{5} =(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)= \left( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \right) \left( x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} \right) −{x2y2(x+y)+y2z2(y+z)+z2x2(z+x)}- \left\{ x ^{2} y ^{2} ( x + y ) + y ^{2} z ^{2} ( y + z ) + z ^{2} x ^{2} ( z + x ) \right\} =(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)= \left( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \right) \left( x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} \right) −{x2y2(5−z)+y2z2(5−x)+z2x2(5−y)}- \left\{ x ^{2} y ^{2} ( 5 - z ) + y ^{2} z ^{2} ( 5 - x ) + z ^{2} x ^{2} ( 5 - y ) \right\} =(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)= \left( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \right) \left( x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} \right) −5(x2y2+y2z2+z2x2)+xyz(xy+yz+zx)- 5 ( x ^{2} y ^{2} + y ^{2} z ^{2} + z ^{2} x ^{2} ) + xyz ( xy + yz + zx ) =(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)= \left( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \right) \left( x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} \right) −5{(xy+yz+zx)2−2xyz(x+y+z)}- 5 \left\{ ( xy + yz + zx ) ^{2} - 2 xyz ( x + y + z ) \right\}+xyz(xy+yz+zx)+ xyz ( xy + yz + zx ) =15×41−5(52+30)−3×5= 15 \times 41 - 5 ( 5 ^{2} + 30 ) - 3 \times 5 =325= 325

태그

#대칭식#곱셈공식의 변형#거듭제곱의 합

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