대칭성과 연속조건으로 정수 k의 개수 구하기

$f \left( x \right) + f \left( - x \right) = 1$에서 $\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{1}{2}$이고 임의의 실수 $x$에 대하여 $f \left( 0 + x \right) = 1 - f \left( 0 - x \right)$이므로 연속함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 점 $\displaystyle \left( 0 , \frac{1}{2} \right)$를 기준으로 점대칭이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ $x ^{2} - x - 2 = 0$에서 $\left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) = 0$이고 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g \left( x \right)$는 $g \left( x \right)$$\displaystyle = \begin{cases} \frac{2 f \left( x \right) - 7}{\left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right)} & & \left( x \neq - 1 \text{또는} x \neq 2 \right) \\ k & & \left( x = - 1 \right) \\ m & & \left( x = 2 \right) \end{cases}$ ($k$, $m$은 상수) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} \frac{2 f \left( x \right) - 7}{\left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right)} = k$에서 $x \rightarrow - 1$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\left( 2 f \left( x \right) - 7 \right)} = 0$에서 $\displaystyle f \left( - 1 \right) = \frac{7}{2}$, $\displaystyle f \left( 1 \right) = - \frac{5}{2}$ ($\because$ ㉠) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} \frac{2 f \left( x \right) - 7}{\left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right)} = m$에서 $x \rightarrow 2$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {\left( 2 f \left( x \right) - 7 \right)} = 0$에서 $\displaystyle f \left( 2 \right) = \frac{7}{2}$, $\displaystyle f \left( - 2 \right) = - \frac{5}{2}$ ($\because$ ㉠) 이상에서 $\displaystyle f \left( 0 \right) = \frac{1}{2}$, $\displaystyle f \left( 1 \right) = - \frac{5}{2}$, $\displaystyle f \left( 2 \right) = \frac{7}{2}$이므로 $h \left( x \right) = f \left( x \right) - k$라 하면 함수 $h \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이고 $\displaystyle h \left( 0 \right) = \frac{1}{2} - k$, $\displaystyle h \left( 1 \right) = - \frac{5}{2} - k$, $\displaystyle h \left( 2 \right) = \frac{7}{2} - k$ 이므로 연속함수 $h \left( x \right)$가 구간 $\left( 0 , 2 \right)$에서 적어도 두 개의 실근을 가지려면 사잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} - k \right) \left( - \frac{5}{2} - k \right) < 0$, $\displaystyle \left( k + \frac{5}{2} \right) \left( k - \frac{1}{2} \right) < 0$ 즉 $\displaystyle - \frac{5}{2} < k < \frac{1}{2}$이 성립해야 한다. 따라서 조건을 만족시키는 정수 $k$의 값은 $- 2$, $- 1$, $0$ 으로 그 개수는 $3$이다.