대칭점이 x축 위에 있을 조건

대칭이동한 점이 $x$축 위에 있으므로 그 점을 $\mathrm{B} ( p , 0 )$이라 하자. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{3 + p}{2} , \frac{1}{2} \right)$이 직선 $y = ax + 2$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{1}{2} = a \times \frac{3 + p}{2} + 2$ 즉 $a ( p + 3 ) = - 3 \cdots \text{①}$ 직선 $\mathrm{AB}$는 직선 $y = ax + 2$와 수직이므로 $\displaystyle \frac{0 - 1}{p - 3} \times a = - 1$ 즉 $a = p - 3 \cdots \text{ ②}$ ②를 ①에 대입하면 $( p - 3 ) ( p + 3 ) = - 3$ $p ^{2} = 6$이므로 $\displaystyle p = \sqrt{6}$ 또는 $\displaystyle p = - \sqrt{6}$ ②에서 $\displaystyle a = \sqrt{6} - 3$ 또는 $\displaystyle a = - \sqrt{6} - 3$ 따라서 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $\displaystyle ( \sqrt{6} - 3 ) ( - \sqrt{6} - 3 ) = 9 - 6 = 3$ [다른 풀이] ②에서 $p = a + 3$을 ①에 대입하면 $a ( a + 6 ) = - 3$, 즉 $a ^{2} + 6 a + 3 = 0$이고 판별식이 $\displaystyle \frac{D}{4} = 9 - 3 = 6 > 0$이므로 서로 다른 두 실근을 가진다. 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 $3$이다.