공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭점과 삼각형 넓이

문제

좌표평면 위에 두 점 A(2,4)\mathrm{A} \mathit{\left( 2 , 4 \right)}, B(6,6)\mathrm{B} \mathit{\left( 6 , 6 \right)}이 있다. 점 A\mathrm{A}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 A′\mathrm{A}'이라 하자. 점 C(0,k)\mathrm{C} \mathit{\left( 0 , k \right)}가 다음 조건을 만족시킬 때, kk의 값은? [4점]

(가) 0<k<30 < k < 3 (나) 삼각형 A′BC\mathrm{A}' BC의 넓이는 삼각형 ACB\mathrm{ACB}의 넓이의 22배이다.

①45\displaystyle \frac{4}{5}②11③65\displaystyle \frac{6}{5}④75\displaystyle \frac{7}{5}⑤85\displaystyle \frac{8}{5}

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③

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해설

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 활용하여 문제 해결하기 직선 AB\mathrm{AB}의 방정식은 y=12x+3\displaystyle y = \frac{1}{2} x + 3 직선 AB\mathrm{AB}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 직선 A′B\mathrm{A}' B의 방정식은 y=2x−6y = 2 x - 6 점 C\mathrm{C}와 직선 A′B\mathrm{A}' B 사이의 거리는 점 C\mathrm{C}와 직선 AB\mathrm{AB} 사이의 거리의 22배이다. ∣−k−6∣22+(−1)2=∣−2k+6∣12+(−2)2×2\displaystyle \frac{\left| - k - 6 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = \frac{\left| - 2 k + 6 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2}}} \times 2 0<k<30 < k < 3이므로 k+6=2(−2k+6)k + 6 = 2 \left( - 2 k + 6 \right) 따라서 k=65\displaystyle k = \frac{6}{5}

태그

#대칭이동#점과 직선 사이의 거리

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