공통수학2직선의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

대칭점을 이용한 거리의 합의 최솟값

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A(1,1)\mathrm{A} ( 1 , 1 ), B(5,2)\mathrm{B} ( 5 , 2 )와 xx축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}가 있다. AP‾+BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}}의 최솟값은? [3점] ①32\displaystyle 3 \sqrt{2}②44③17\displaystyle \sqrt{17}④55⑤26\displaystyle \sqrt{26}

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④

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해설

두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}는 xx축에 대하여 같은 쪽에 있다. 점 A(1,1)\mathrm{A} ( 1 , 1 )의 xx축에 대한 대칭점을 A′\mathrm{A}'이라 하면 A′(1,−1)\mathrm{A}' ( 1 , - 1 )이고, xx축 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 AP‾=A′P‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}이다. AP‾+BP‾=A′P‾+BP‾≥A′B‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{A}' B} 등호는 점 P\mathrm{P}가 선분 A′B\mathrm{A}' B와 xx축의 교점일 때 성립한다. A′B‾=(5−1)2+(2−(−1))2=16+9=5\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 5 - 1 ) ^{2} + ( 2 - ( - 1 ) ) ^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5 따라서 최솟값은 55이다. ④

태그

#직선 위의 점#대칭이동#거리의 합

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