대칭점 직사각형 둘레 최소

[출제의도] 절대부등식을 이용한 최솟값 문제 해결하기

$\displaystyle y = \frac{4}{x}$ $\displaystyle \frac{4}{a}$

점 $\mathrm{A}$에서 $x$축, $y$축에 이르는 거리는 각각 $\displaystyle \frac{4}{a}$, $a$ ($a > 0$)이므로 직사각형 $\mathrm{ACDB}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle 4 \left( a + \frac{4}{a} \right)$이다. $\displaystyle a + \frac{4}{a} \geq 2 \sqrt{a \times \frac{4}{a}} = 4$ $\displaystyle 4 \left( a + \frac{4}{a} \right) \geq 16$ (단, 등호는 $a = 2$일 때, 성립한다.) 이므로 직사각형 $\mathrm{ACDB}$의 둘레의 길이의 최솟값은 $16$이다.