미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭인 삼차함수 조건에서 상수 a 구하기

문제

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f ( x )$ 와 양수 $a$ 가 다음 조건을 만족할 때, $a$ 의 값은? [4점]

(가) 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int _{a - t} ^{a + t} f ( x ) dx = 0$ 이다. (나) $f ( a ) = f ( 0 )$ (다) $\displaystyle \int _{0} ^{a} f ( x ) dx = 144$

① $\displaystyle 2 \sqrt{6}$ ② $\displaystyle 3 \sqrt{6}$ ③ $\displaystyle 4 \sqrt{6}$ ④ $\displaystyle 5 \sqrt{6}$ ⑤ $\displaystyle 6 \sqrt{6}$

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①

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해설

(가)로부터 $y = f ( x )$ 는 $f ( a ) = 0$ 이고, 점 $( a , f ( a ) )$ 에 대하여 대칭인 곡선이다. (나)에서 $f ( a ) = f ( 0 ) = f ( 2 a ) = 0$ 이므로 $f ( x ) = x ( x - a ) ( x - 2 a )$ $= ( x - a ) ^{3} - a ^{2} ( x - a )$ (다)에서 $\displaystyle \int _{0} ^{a} f ( x ) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} ( x - a ) ^{4} - \frac{a ^{2}}{2} ( x - a ) ^{2} \right] _{0} ^{a}$ $\displaystyle = \frac{a ^{4}}{4} = 144$ $\therefore$ $\displaystyle a = 2 \sqrt{6}$

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