공통수학2도형의 이동AI아주 기초 (2점~3점 초반)

대칭이동한 원의 방정식

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 원 C:(x−4)2+(y−1)2=4C : ( x - 4 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 4와 직선 l:y=x+2l : y = x + 2가 있다. 원 CC를 직선 ll에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은? [2점] ①(x−1)2+(y−4)2=4( x - 1 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 4②(x−6)2+(y+1)2=4( x - 6 ) ^{2} + ( y + 1 ) ^{2} = 4③(x+1)2+(y−6)2=4( x + 1 ) ^{2} + ( y - 6 ) ^{2} = 4④(x+1)2+(y−6)2=2( x + 1 ) ^{2} + ( y - 6 ) ^{2} = 2⑤(x+2)2+(y−5)2=4( x + 2 ) ^{2} + ( y - 5 ) ^{2} = 4

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③

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해설

원 CC의 중심은 P(4,1)\mathrm{P} ( 4 , 1 )이고 반지름의 길이는 22이다. 대칭이동하여도 반지름의 길이는 변하지 않으므로 중심의 대칭점만 구하면 된다. 중심 P\mathrm{P}를 직선 ll에 대하여 대칭이동한 점을 Q(a,b)\mathrm{Q} ( a , b )라 하자. 선분 PQ\mathrm{PQ}의 중점 (4+a2,1+b2)\displaystyle \left( \frac{4 + a}{2} , \frac{1 + b}{2} \right)가 직선 ll 위에 있으므로 1+b2=4+a2+2\displaystyle \frac{1 + b}{2} = \frac{4 + a}{2} + 2 즉 b−a=7⋯①b - a = 7 \cdots \text{①} 직선 PQ\mathrm{PQ}는 직선 ll과 수직이므로 b−1a−4=−1\displaystyle \frac{b - 1}{a - 4} = - 1 즉 $a + b = 5 \cdots \text{ ②}$ ①, ②를 연립하여 풀면 a=−1a = - 1, b=6b = 6 구하는 원은 중심이 (−1,6)( - 1 , 6 )이고 반지름의 길이가 22인 원이므로 그 방정식은 (x+1)2+(y−6)2=4( x + 1 ) ^{2} + ( y - 6 ) ^{2} = 4 ③

태그

#대칭이동#원의 방정식#직선에 대한 대칭

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