대칭이동한 원이 처음 원에 접할 조건

원의 중심 $\mathrm{P} ( 3 , 4 )$를 직선 $y = 2 x - 7$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{Q} ( a , b )$라 하자. 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{3 + a}{2} , \frac{4 + b}{2} \right)$가 직선 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{4 + b}{2} = 2 \times \frac{3 + a}{2} - 7$ 즉 $b = 2 a - 12 \cdots \text{①}$ 직선 $\mathrm{PQ}$는 직선 $y = 2 x - 7$과 수직이므로 $\displaystyle \frac{b - 4}{a - 3} \times 2 = - 1$ 즉 $a + 2 b = 11 \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 $a = 7$, $b = 2$이므로 $\mathrm{Q} ( 7 , 2 )$ 대칭이동한 원의 반지름의 길이도 $\displaystyle \sqrt{k}$이므로 두 원이 한 점에서만 만나려면 (외접) $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 2 \sqrt{k}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{( 7 - 3 ) ^{2} + ( 2 - 4 ) ^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \sqrt{k} = \sqrt{5}$ 따라서 $k = 5$ [다른 풀이] 대칭인 두 원이 한 점에서 만나면 그 점은 대칭축 위에 있으므로 원이 직선 $2 x - y - 7 = 0$에 접해야 한다. 중심 $( 3 , 4 )$와 직선 사이의 거리 $\displaystyle \frac{\left| 6 - 4 - 7 \right|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$가 반지름의 길이이므로 $k = 5$