대칭이동과 기울기 범위

[출제의도] 도형의 평행이동과 대칭이동을 이용하여 미지수의 값을 구하는 문제를 해결한다. 원 $\left( x - 6 \right) ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 원을 $C _{1}$, $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 원을 $C _{2}$라 하자. 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$의 중심을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $\left( 0 , 6 \right)$, $\left( 6 + k , 0 \right)$이고, 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$의 반지름의 길이는 모두 $r$이다. 점 $\mathrm{P}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P} \mathit{'}$, 점 $\mathrm{Q}$를 $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 점을 $\mathrm{Q} \mathit{'}$이라 하면 점 $\mathrm{P} \mathit{'}$은 원 $C _{1}$ 위의 점이고, 점 $\mathrm{Q} \mathit{'}$은 원 $C _{2}$ 위의 점이다. 이때 두 점 $\mathrm{P}'$$\left( x _{1} , y _{1} \right)$, $\mathrm{Q}'$$\left( x _{2} , y _{2} \right)$에 대하여 $\displaystyle y _{2} \frac{- y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$의 값은 직선 $\mathrm{P} \mathit{'} \mathrm{Q} \mathit{'}$의 기울기와 같다. 직선 $\mathrm{P} \mathit{'} \mathrm{Q} \mathit{'}$의 기울기의 최솟값이 $0$이므로 그림과 같이 원 $C _{2}$의 중심의 $x$좌표가 $- 2 r$보다 작고, 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$는 모두 $x$축에 평행한 직선 $l _{1}$에 접한다. 따라서 $6 + k < \mathit{-} 2 r$이고 $r = 6 - r$, 즉 $r = 3$ 또한, 직선 $\mathrm{P} \mathit{'} \mathrm{Q} \mathit{'}$의 기울기의 최댓값이 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 그림과 같이 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$는 모두 기울기가 $\displaystyle \frac{4}{3}$인 직선 $l _{2}$에 접하고, 이때 원 $C _{2}$의 중심의 $x$좌표는 직선 $l _{2}$의 $x$절편보다 작다.

직선 $l _{2}$의 방정식을 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x + n$이라 하면 직선 $l _{2}$의 $y$절편은 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표보다 크므로 $n > 6$이다. 점 $\mathrm{A} \left( \mathit{0} , 6 \right)$과 직선 $\displaystyle y = \frac{4}{3} x + n$, 즉 $4 x - 3 y + 3 n = 0$ 사이의 거리는 원 $C _{1}$의 반지름의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 0 - 18 + 3 n \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}}$$= 3$ $\left| 3 n - 18 \right| = 15$ $n > 6$이므로 $3 n - 18 = 15$, $n = 11$ 즉, 직선 $l _{2}$의 방정식은 $4 x - 3 y + 33 = 0$이다. 점 $\mathrm{B} \left( \mathit{6} + k , 0 \right)$과 직선 $4 x - 3 y + 33 = 0$ 사이의 거리는 원 $C _{2}$의 반지름의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 4 \left( 6 + k \right) - 0 + 33 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}}$$= 3$ $\left| 4 k + 57 \right| = 15$ $k = \mathit{-} 18$ 또는 $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{21}{2}$ 이때 $6 + k$$= \mathit{-} 12$ 또는 $6 + k$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{9}{2}$ 직선 $l _{2}$의 $x$절편이 $\displaystyle - \frac{33}{4}$이므로 $6 + k$$= \mathit{-} 12$이어야 하고, 이는 $6 + k < \mathit{-} 2 r = \mathit{-} 6$을 만족시킨다. 즉, $k = \mathit{-} 18$이다. 따라서 $\left| r + k \right|$$= \left| 3 + \left( - 18 \right) \right|$$= \left| - 15 \right|$$= 15$