공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동과 최단거리

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 두 원 C1:(x−8)2+(y−2)2=4C _{1} : \left( x - 8 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 4, C2:(x−3)2+(y+4)2=4C _{2} : \left( x - 3 \right) ^{2} + \left( y + 4 \right) ^{2} = 4 와 직선 y=xy = x가 있다. 점 A\mathrm{A}는 원 C1C _{1} 위에 있고, 점 B\mathrm{B}는 원 C2C _{2} 위에 있다. 점 P\mathrm{P}는 xx축 위에 있고, 점 Q\mathrm{Q}는 직선 y=xy = x 위에 있을 때, AP‾+PQ‾+QB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}}의 최솟값은? (단, 세 점 A\mathrm{A}, P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}는 서로 다른 점이다.) [4점]

①7\mathrm{7}②8\mathrm{8}③9\mathrm{9}④10\mathrm{10}⑤11\mathrm{11}

정답 보기
③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

원 C1C _{1}을 xx축에 대하여 대칭이동한 원을 C1′C _{1}', 원 C2C _{2}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 원을 C2′C _{2}'이라 하면 C1′:(x−8)2+(y+2)2=4C _{1}' : \left( x - 8 \right) ^{2} + \left( y + 2 \right) ^{2} = 4, C2′:(x+4)2+(y−3)2=4C _{2}' : \left( x + 4 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 4 점 A\mathrm{A}를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 A′\mathrm{A} \mathit{'}, 점 B\mathrm{B}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 B′\mathrm{B} \mathit{'}이라 하면 두 점 A′\mathrm{A} \mathit{'}, B′\mathrm{B} \mathit{'}은 각각 원 C1′C _{1}', 원 C2′C _{2}' 위의 점이다. AP‾=A′P‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{P}}}, QB‾=QB′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QB}}} = {\overline{\mathrm{QB} \mathit{'}}} AP‾+PQ‾+QB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}}의 값은 네 점 A′\mathrm{A} \mathit{'}, P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}, B′\mathrm{B} \mathit{'}이 두 원 C1′C _{1}', C2′C _{2}'의 중심을 연결한 선분 위에 있을 때 최소이고, 두 원 C1′C _{1}', C2′C _{2}'의 반지름의 길이가 모두 2\mathrm{2}이므로 AP‾+PQ‾+QB‾=A′P‾+PQ‾+QB′‾≥A′B′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}} = {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{P}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{QB} \mathit{'}}} \geq {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{B} \mathit{'}}} A′B′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{B} \mathit{'}}}={8−(−4)}2+{(−2)−3}2−4\displaystyle = \sqrt{\left\{ 8 - ( - 4 ) \right\} ^{2} + \left\{ ( - 2 ) - 3 \right\} ^{2}} - 4 =13−4=9= 13 - 4 = 9 따라서 AP‾+PQ‾+QB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}}의 최솟값은 9\mathrm{9}

태그

#대칭이동#최단거리#원

비슷한 문제 더 보기

공통수학2 문제 모음공통수학2 도형의 이동 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로