대칭이동과 최단거리

[출제의도] 대칭이동을 이용하여 추론하기 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = 3$이므로 점 $\mathrm{P}$는 중심이 $\mathrm{B}$이고 반지름의 길이가 $3$인 원 위에 있다. 점 $\mathrm{A}$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 점 $\mathrm{A}'$의 좌표는 $\left( - 3 , - 2 \right)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{QP}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{A}' Q} + \overline{\mathrm{QP}} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 모두 선분 $\mathrm{A}' B$ 위에 있을 때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{QP}}} + {\overline{\mathrm{PB}}}$는 최소이고, 그 값은 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' B}} = \sqrt{\left\{ 5 - ( - 3 ) \right\} ^{2} + \left\{ 4 - ( - 2 ) \right\} ^{2}} = 10$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{QP}}} + {\overline{\mathrm{PB}}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{QP}} + 3$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{QP}}} + {\overline{\mathrm{PB}}}$가 최소일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{QP}}$도 최소이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} + \overline{\mathrm{QP}}$의 최솟값은 $10 - 3 = 7$