공통수학2도형의 이동수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

대칭이동 원 공통부분

문제

좌표평면 위에 중심의 좌표가 (−12,0)\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , 0 \right)이고 반지름의 길이가 1인 원 O1O _{1}이 있다. 원 O1O _{1}을 yy축에 대하여 대칭이동한 원을 O2O _{2}라 하고 xx축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원을 O3O _{3}이라 하자. 원 O1O _{1}의 내부와 원 O2O _{2}의 내부의 공통부분의 넓이와 원 O2O _{2}의 내부와 원 O3O _{3}의 내부의 공통부분의 넓이의 합은? [4점] ①43π−23\displaystyle \frac{4}{3} \pi - 2 \sqrt{3}②23π−32\displaystyle \frac{2}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{2}③43π−3\displaystyle \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3}④23π+32\displaystyle \frac{2}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{2}⑤23π+3\displaystyle \frac{2}{3} \pi + \sqrt{3}

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③

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해설

[출제의도] 평행이동을 활용하여 문제해결하기 원 O1O _{1}의 방정식은 (x+12)2+y2=1\displaystyle \left( x + \frac{1}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = 1이다. 원 O1O _{1}을 yy축에 대하여 대칭이동한 원 O2O _{2}의 방정식은 (x−12)2+y2=1\displaystyle \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = 1이고 원 O1O _{1}을 xx축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원 O3O _{3}의 방정식은 (x−32)2+y2=1\displaystyle \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} + y ^{2} = 1이다. 그림과 같이 원 O1O _{1}의 내부와 원 O2O _{2}의 내부의 공통부분의 넓이와 원O2O _{2} 의 내부와 원 O3O _{3}의 내부의 공통부분의 넓이의 합 SS는 반지름의 길이가 11이고 중심각의 크기가 60∘6 0 ^\circ인 부채꼴의 넓이에서 밑변의 길이가 12\displaystyle \frac{1}{2}이고 높이가 32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}인 직각삼각형의 넓이를 뺀 것의 88배이다.

따라서 S=8(π6−38)=43π−3\displaystyle S = 8 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{4}{3} \pi - \sqrt{3}

태그

#대칭이동#평행이동#원

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