대칭이동 삼각형 넓이비

[출제의도] 점의 대칭이동과 삼각형의 닮음을 이용하여 상수의 값을 구한다. 두 점 $\mathrm{A} ( 4 , \mathit{a} )$, $\mathrm{B} ( 2 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점은 각각 $\mathrm{A}' ( \mathit{a} , 4 )$, $\mathrm{B}' ( 1 , 2 )$이다. 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 각각 직선 $y = x$와 서로 수직이므로 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 서로 평행하다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$은 서로 닮은 삼각형이다. 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$의 넓이의 비가 $9 : 4$이므로 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$의 닮음비는 $3 : 2$이다. ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{AA}'} : \overline{\mathrm{BB}'} = 3 : 2$

$\displaystyle \mathrm{\overline{AA'}} = \mathit{\sqrt{( a - 4 ) ^{2} + ( 4 - a ) ^{2}}} = \sqrt{2} ( a - 4 )$ (∵ $a > 4$) $\displaystyle \mathrm{\overline{BB'}} = \sqrt{( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AA}'} : \overline{\mathrm{BB}'} = 3 : 2$에서 $\displaystyle \sqrt{2} ( a - 4 ) : \sqrt{2} = 3 : 2$ $2 ( a - 4 ) = 3$에서 $\displaystyle a = \frac{11}{2}$ [다른 풀이1] 두 점 $\mathrm{A} ( 4 , \mathit{a} )$, $\mathrm{B} ( 2 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점은 각각 $\mathrm{A}' ( \mathit{a} , 4 )$, $\mathrm{B}' ( 1 , 2 )$이다. 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 각각 직선 $y = x$와 서로 수직이므로 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 서로 평행하다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$은 서로 닮은 삼각형이다. 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$의 넓이의 비가 $9 : 4$이므로 두 삼각형의 닮음비는 $3 : 2$이다. ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{BP} = 3 : 2$ 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 내분하는 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3 \times 2 + 2 \times 4}{3 + 2} , \frac{3 \times 1 + 2 \times a}{3 + 2} \right)$ 즉 $\displaystyle \left( \frac{14}{5} , \frac{2 a + 3}{5} \right)$ 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{A}' B'$은 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이므로 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{A}' B'$의 교점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = x$ 위의 점이다. $\displaystyle \frac{14}{5} = \frac{2 a + 3}{5}$ ∴ $\displaystyle a = \frac{11}{2}$ [다른 풀이2] 두 점 $\mathrm{A} ( 4 , \mathit{a} )$, $\mathrm{B} ( 2 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점은 각각 $\mathrm{A}' ( \mathit{a} , 4 )$, $\mathrm{B}' ( 1 , 2 )$이다. 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 각각 직선 $y = x$와 서로 수직이므로 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 서로 평행하다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$은 서로 닮은 삼각형이다. 점 $\mathrm{A}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리와 점 $\mathrm{B}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리의 비가 닮음비 $3 : 2$와 같다. $\displaystyle \frac{| 4 - a |}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} : \frac{1}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = 3 : 2$ $2 ( a - 4 ) = 3$ (∵ $a > 4$) ∴ $\displaystyle a = \frac{11}{2}$