공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동 최단거리

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 원 C:(x−7)2+(y−3)2=2C : \left( x - 7 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 2와 점 A(2,0){\mathrm{A}} \left( 2 , 0 \right)이 있다. 원 CC 위의 점 P{\mathrm{P}}, 직선 y=xy = x 위의 점 Q{\mathrm{Q}}에 대하여 AQ‾+QP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{QP}}}의 최솟값은? [4점]

①32\displaystyle 3 \sqrt{2}②42\displaystyle 4 \sqrt{2}③52\displaystyle 5 \sqrt{2}④62\displaystyle 6 \sqrt{2}⑤72\displaystyle 7 \sqrt{2}

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②

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해설

원 CC를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 도형을 원 C′C'이라 하면 원 C′C'의 방정식은 (x−3)2+(y−7)2=2\left( x - 3 \right) ^{2} + \left( y - 7 \right) ^{2} = 2이다. 점 P{\mathrm{P}}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 P′{\mathrm{P}}'이라 하면 점 P′{\mathrm{P}}'은 원 C′C' 위에 있고 QP‾=QP′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QP}}} = {\overline{{\mathrm{QP}}'}}이므로 AQ‾+QP‾=AQ‾+QP′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{QP}}} = {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{{\mathrm{QP}}'}}이다.

세 점 P′{\mathrm{P}}', Q{\mathrm{Q}}, A{\mathrm{A}}가 한 직선 위에 있지 않으면 삼각형 P′QA{\mathrm{P}}' {\mathrm{QA}}에서 AQ‾+QP′‾>AP′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{{\mathrm{QP}}'}} > {\overline{{\mathrm{AP}}'}}이고, 세 점 P′{\mathrm{P}}', Q{\mathrm{Q}}, A{\mathrm{A}}가 한 직선 위에 있으면 AQ‾+QP′‾=AP′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{{\mathrm{QP}}'}} = {\overline{{\mathrm{AP}}'}}이다.

즉, AQ‾+QP‾=AQ‾+QP′‾≥AP′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{QP}}} = {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{{\mathrm{QP}}'}} \geq {\overline{{\mathrm{AP}}'}} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ 이고, ㉠의 등호는 세 점 P′{\mathrm{P}}', Q{\mathrm{Q}}, A{\mathrm{A}}가 한 직선 위에 있을 때 성립한다.

한편, 원 C′C'의 중심을 C{\mathrm{C}}라 할 때 세 점 C{\mathrm{C}}, P′{\mathrm{P}}', A{\mathrm{A}}가 한 직선 위에 있지 않으면 삼각형 CP′A{\mathrm{CP}}' {\mathrm{A}}에서 AP′‾+P′C‾>AC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{AP}}'}} + {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{C}}}} > {\overline{\mathrm{AC}}}이고, AC‾=52\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 5 \sqrt{2}, P′C‾=2\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{C}}}} = \sqrt{2}이므로 AP′‾>AC‾−P′C‾=42\displaystyle {\overline{{\mathrm{AP}}'}} > {\overline{\mathrm{AC}}} - {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{C}}}} = 4 \sqrt{2}이다.

세 점 C{\mathrm{C}}, P′{\mathrm{P}}', A{\mathrm{A}}가 한 직선 위에 있으면 AP′‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{AP}}'}}은 점 P′{\mathrm{P}}'이 선분 AC{\mathrm{AC}} 위에 있을 때 최소이다. 이때, AP′‾=AC‾−P′C‾=42\displaystyle {\overline{{\mathrm{AP}}'}} = {\overline{\mathrm{AC}}} - {\overline{{\mathrm{P}}' {\mathrm{C}}}} = 4 \sqrt{2} 그러므로 AP′‾≥42\displaystyle {\overline{\mathrm{AP} \mathit{'}}} \geq 4 \sqrt{2} ⋯\cdots⋯\cdots ㉡ 이고, ㉡의 등호는 점 P′{\mathrm{P}}'이 선분 AC{\mathrm{AC}} 위에 있을 때 성립한다. ㉠, ㉡에서 AQ‾+QP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} + {\overline{\mathrm{QP}}}의 최솟값은 42\displaystyle 4 \sqrt{2}

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#대칭이동#최솟값#원

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