대칭 포물선 공통접선

두 포물선은 꼭지점으로부터 준선까지의 거리가 각각 2이면서 각각 $x$축으로 2, -2 만큼 평행이동한 포물선의 방정식이므로, 포물선의 방정식은 각각 $y ^{2} = - 8 ( x + 2 )$, $y ^{2} = 8 ( x - 2 )$가 된다. 이 때, 이 두 포물선에 동시에 접하는 직선의 방정식의 기울기를 $m$이라 두면, 첫 번째 포물선의 방정식에서의 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y = m ( x + 2 ) - \frac{2}{m} = mx + 2 m - \frac{2}{m}$이 되며, 두 번째 포물선의 방정식은 $\displaystyle y = m ( x - 2 ) + \frac{2}{m} = mx - 2 m + \frac{2}{m}$이 된다. 이 두 접선의 방정식이 일치해야 하므로 $\displaystyle - 2 m + \frac{2}{m} = 2 m - \frac{2}{m}$, $\displaystyle 4 m = \frac{4}{m}$, $\therefore m = 1 ( \because m > 0 )$가 된다. 주어진 식에 $m$값을 대입해서 직선의 방정식을 구해보면 $y = x$가 된다. 이 때, $y = x$와 두 포물선과의 교점의 좌표를 연립해서 구해보면 $( - 4 , - 4 ) , ( 4 , 4 )$가 된다. 그러므로 두점사이의 거리 $\displaystyle d = \sqrt{8 ^{2} + 8 ^{2}} = \sqrt{128}$ $\therefore d ^{2} = 128$